노래하는 고속도로

노래하는 고속도로를 지날 때 언젠가는 한 번 정리해봐야겠다고 도로의 홈 간격에 대한 생각.

일단 속도마다 다른 음이 날테니까 기준되는 속도를 100km/h로 정해보자.

100km/h는 초속으로 100*1000m/3600sec 이므로 1000/36 m/s = 27.7777 m/s

100km/h = 27.7777 m/s

시속 100km를 달리면 1초에 28m를 간다.

기준음 '라'는 진동수가 440Hz라는 것은 그냥 알고 있다. 즉, 1초에 440번 두드리면 '라' 소리가 난다.

옥타브가 하나 올라가면 진동수가 배가 된다. 즉 한 옥타브 높은 '라'는 880Hz다.

한 옥타브는 12개의 반음이 있다. 

평균율 음계에서의 음의 증가는 주파수를 log를 취했을 때 일정한 간격으로 증가하는 것을 알고 있다.

즉,

880Hz = 2 * 440Hz

log 880 = log (2 * 440) = log 2 + log 440

한 옥타브가 올라가면 주파수의 로그값은 log 2 만큼의 증가가 일어난다. 그러면 12개 들어 있으므로 하나의 반음은  log2의 1/12만큼 증가한다.

피아노 건반을 보면 도는 라부터 반음 3개를 더한만큼의 주파수를 가지게 된다. 따라서, 도의 주파수를 X라고 한다면

log X = log 2 * (3 / 12) + log 440

X = 10 ^ (log 2 * (3 / 12) + log 440)

X = 10 ^ (log 2 * (3 / 12)) * 440 = 523.2511 (Hz)

즉, 1초에 523번 두드리면 '도' 음이 난다.
만약 시속 100km로 달린다면 1초에 28m (27.7777m)를 간다.
28Hz의 소리를 낸다면, 1m 마다 한번씩 홈을 내면 되는 것이고,
280Hz라고 한다면 0.1m (10cm)마다 한번씩 홈을 내면 된다.
즉 계산식을 만들자면, 100km/h로 달릴때는,
28m 혹은 2800cm를 원하는 진동수로 나누면 될 것 같다.

만약 도, 레, 미, 파, 솔을 연주한다면, 

도 = 라 + 반음 3개

레 = 라 + 반음 5개

미 = 라 + 반음 7개

파 = 라 + 반음 8개

솔 = 라 + 반음 10개

이므로, 각각의 Hz를 구하면

10 ^ (log 2 * (3 / 12)) * 440 = 523.2511

10 ^ (log 2 * (5 / 12)) * 440 = 587.3295

10 ^ (log 2 * (7 / 12)) * 440 = 659.2551

10 ^ (log 2 * (8 / 12)) * 440 =  698.4564

10 ^ (log 2 * (10 / 12)) * 440 = 783.9908

각각을 시속 100km/h인 초속 27.7777m/s, (2777 cm/s)에 대해서 나누면

2777 / 523.2511 = 5.3 cm (도)

2777 / 587.3295 = 4.7 cm (레)

2777 / 659.2551 = 4.2 cm (미)

2777 / 698.4564 = 4.0 cm (파)

2777 / 783.9908 = 3.5 cm (솔)

간격으로 홈을 내면 연주할 수 있다. 그리고 28m가 1초이므로 대략 9m 홈을 내면 는 0.3초정도 지속 될 것 같다.